Let x0 of type ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → CN (ι → ι) be given.
Let x1 of type (((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → CN (ι → ι)) → (((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → CN (ι → ι)) → ο be given.
Assume H0:
x1 (ChurchNums_8_perm_7_0_1_2_3_4_5_6 ((λ x2 : ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → ((ι → ι) → ι → ι) → (ι → ι) → ι → ι . λ x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 : (ι → ι) → ι → ι . x2 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x3) x0)) x0.
The subproof is completed by applying H0.